平均誤差半径、または半数必中界（CEP）とは、ミサイルや爆弾の命中精度の指標であり、着弾点の分布が円形正規分布に従うとしたとき、平均弾着点を中心とし、その円内に着弾する確率が50%になる円の半径のことである。目標の半径がわかっているとき、平均誤差半径をつかって弾が目標に直撃する確率を求めたい。

地平と重なるように直交する $x_1$ 軸、 $x_2$ 軸をとる。弾着点を $(x_1,x_2)$ とし、 $x_1$ と $x_2$ の誤差が互いに独立で、かつ分散が等しいとき、弾着点は円形正規分布に従う。このとき、 $x_1$ および $x_2$ の分散を $\sigma$ 、また $(\mu_1,\mu_2)$ を平均弾着点とすれば、弾着点の分布の確率密度関数は以下のようになる。

$\displaystyle{ f(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp\left(-\frac{(x_1-\mu_1)^2+(x_2-\mu_2)^2}{2\sigma^2}\right) }$

簡単のため $(\mu_1,\mu_2)=\boldsymbol{0}$ とすると、

$\displaystyle{ f(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp\left(-\frac{x_1^2+x_2^2}{2\sigma^2}\right) }$

CEPを $R_{CEP}$ とすると、その定義から

$\displaystyle{ \int_{0\leq x_1^2+x_2^2 \leq R_{CEP}^2}\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp\left(-\frac{x_1^2+x_2^2}{2\sigma^2}\right)dx_1dx_2 =0.5 }$

左辺の積分を極座標に変数変換して

$\displaystyle{ \rm{(LHS)}=\int_{r=0}^{R_{CEP}}\int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{r}{2\pi\sigma^2}\exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right)d\theta dr\\ =\int_{r=0}^{R_{CEP}}\frac{r}{\sigma^2}\exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right)dr\\ =\left[-\exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right)\right]_{0}^{R_{CEP}}\\ =1-\exp\left(-\frac{R_{CEP}^2}{2\sigma^2}\right) }$

これが0.5に等しいので

$\displaystyle{\begin{eqnarray} \exp\left(-\frac{R_{CEP}^2}{2\sigma^2}\right)=0.5 \tag{1} \end{eqnarray}}$

円形の目標の半径を $R$ とし、目標の中心を狙ったとき（平均着弾点が目標の中心のとき）、目標に直撃する確率 $P(R)$ は

$\displaystyle{ P(R)=\int_{0\leq x_1^2+x_2^2 \leq R^2}\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp(-\frac{x_1^2+x_2^2}{2\sigma^2})dx_1dx_2 }$

先ほどと同様に計算すると

$\displaystyle{ P(R)=1-\exp(-\frac{R^2}{2\sigma^2}) }$

これを変形して

$\displaystyle{ P(R)=1-\exp\left(-\frac{R_{CEP}^2}{2\sigma^2}\frac{R^2}{R_{CEP}^2}\right)\\ =1-\left(\exp\left(-\frac{R_{CEP}^2}{2\sigma^2}\right)\right)^{\frac{R^2}{R_{CEP}^2}} }$