理系大学生のブログ

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像、逆像と包含関係

大学数学

この記事では、集合の包含関係が像、逆像それぞれをとる操作のもとで保存されることを示す。具体的には下記の二つの命題を示す。また、それぞれの逆は成り立たないことを反例を挙げて示す。なお、前提条件として、写像 $f$ は $f:X\to Y$ で、集合 $A,B$ は $A,B\subset X$ 、集合 $C,D$ は $C,D\subset Y$ であるとする。

命題1 $A\subset B\Rightarrow f(A)\subset F(B)$

命題2 $C\subset D\Rightarrow f^{-1}(C)\subset f^{-1}(D)$

命題1の証明

$\displaystyle{\begin{eqnarray} y\in f(A)&\Leftrightarrow&\exists x\in A,f(x)=y\\ &\Rightarrow&\exists x\in B,f(x)=y\\ &\Leftrightarrow&y\in f(B) \end{eqnarray}}$

命題2の証明

$\displaystyle{\begin{eqnarray} x\in f^{-1}(C)&\Leftrightarrow&f(x)\in C\\ &\Rightarrow&f(x)\in D\\ &\Leftrightarrow&x\in f^{-1}(D) \end{eqnarray}}$

命題1の逆の反例

命題1の逆は「 $f(A)\subset f(B)\Rightarrow A\subset B$ 」
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ として $f(x)=x^ 2$ を考える。ここで

$\displaystyle{\begin{eqnarray} f([1,2])=[1,4]\\ f([-3,-1])=[1,9] \end{eqnarray}}$

$f([1,2])\subset f([-3,-1])$ だが $[1,2]\not\subset [-3,-1]$ 。反例になっている。

命題2の逆の反例

命題2の逆は「 $f^{-1}(C)\subset f^{-1}(D)\Rightarrow C\subset D$ 」 $f:(0,1)\to\mathbb{R}$ として $f(x)=x$ を考える。ここで

$\displaystyle{\begin{eqnarray} f^{-1} ( (1,2) )=\emptyset\\ f^{-1} ( (0,1) )=(0,1) \end{eqnarray}}$

$f^{-1}( (1,2) )\subset f^{-1}( (0,1) )$ だが $(1,2)\not\subset (0,1)$ 。反例になっている。

2020/06/05現在「逆像　包含関係」でgoogle検索すると上位に出てくるあるサイトには、命題2の逆も正しいとする記述があるが、誤りだと自分は思う。