剛体の回転運動方程式への道という続き物の記事を書くことにした。
これらの記事では、剛体の回転運動方程式 $I\ddot{\phi}=N$ を導出し、またそれがどのような条件下で成り立つかを明らかにしたい。

座標回転行列

静止座標系 $R$ に対して、原点を同じくし、座標軸の向きだけが異なる回転座標系 $B$ を考える。
$R$ の基本単位ベクトルを $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\boldsymbol{e_3}$ 、 $B$ の基本単位ベクトルを $\boldsymbol{e_1'},\boldsymbol{e_2'},\boldsymbol{e_3'}$ とする。
どちらも静止座標系 $R$ 上で表現したベクトルである。
（縦ベクトルで表現されているものとする。）

ここで

$\displaystyle{\begin{eqnarray} a_{ij}=\boldsymbol{e_i'}\cdot\boldsymbol{e_j} \end{eqnarray}}$

となるような行列 $A=(a_{ij})$ を考える。この $A$ をこのブログでは座標回転行列と呼ぶことにする。
~~回転行列と似ているが微妙に異なるためこの名前を使うことにした。~~（2020/02/21追記）座標回転行列は回転行列の一種である。

座標回転行列は以下のような性質がある。まず、

$\displaystyle{\begin{eqnarray} A=\left(\begin{array}{ccc} &{\boldsymbol{e_1'}}^\mathrm{T}& \\ &{\boldsymbol{e_2'}}^\mathrm{T}& \\ &{\boldsymbol{e_3'}}^\mathrm{T}& \end{array}\right) \end{eqnarray}}$

これは $a_{ij}$ が $\boldsymbol{e_i'}$ の第 $j$ 成分を表していることから明らか。

よって

$\displaystyle{\begin{eqnarray} AA^\mathrm{T}&=&\left(\begin{array}{ccc} &{\boldsymbol{e_1'}}^\mathrm{T}& \\ &{\boldsymbol{e_2'}}^\mathrm{T}& \\ &{\boldsymbol{e_3'}}^\mathrm{T}& \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} && \\ \boldsymbol{e_1'}&\boldsymbol{e_2'}&\boldsymbol{e_3'} \\ && \end{array}\right)\\ &=&E \end{eqnarray}}$

最後の等号は $ij$ 成分が ${\boldsymbol{e_i'}}^\mathrm{T}\boldsymbol{e_j'}=\boldsymbol{e_i'}\cdot\boldsymbol{e_j'}=\delta_{ij}$ であることより成立。
ゆえに $A$ は直交行列で以下を満たす。

$\displaystyle{\begin{eqnarray} AA^\mathrm{T}=A^\mathrm{T}A=E \end{eqnarray}}$

また、ある点の、静止座標系 $R$ 上で表現された位置ベクトル $\boldsymbol{r}$ と回転座標系 $B$ 上で表現された位置ベクトル $\boldsymbol{r'}$ の間には以下のような関係がある。

$\displaystyle{\begin{eqnarray} \boldsymbol{r'}=A\boldsymbol{r}\\ \boldsymbol{r}=A^\mathrm{T}\boldsymbol{r’} \end{eqnarray}}$

速度の外積表示

回転座標系 $B$ に固定した点の静止座標系 $R$ から見た速度を知りたい。
点の位置が回転座標系 $B$ 上において

$\displaystyle{\begin{eqnarray} \boldsymbol{r'}=\left( \begin{array}{c} x'\\ y'\\ z' \end{array} \right) \end{eqnarray}}$

と表されるとする。（静止座標系上の表現ではないことに注意。）

回転座標系の基底 $\boldsymbol{e_i'}$ を時間微分したベクトルもまた、回転座標系 $B$ の基本単位ベクトルの線形結合で表されるから

$\displaystyle{\begin{eqnarray} \frac{d\boldsymbol{e_i'}}{dt} = b_{i1}\boldsymbol{e_1'} + b_{i2}\boldsymbol{e_2'} + b_{i3}\boldsymbol{e_3'}\ \ \ (i=1,2,3) \end{eqnarray}}$

とすると

$\displaystyle{\begin{eqnarray} \frac{d\boldsymbol{e_i'}}{dt}&=&\left(\begin{array}{ccc} && \\ \boldsymbol{e_1'}&\boldsymbol{e_2'}&\boldsymbol{e_3'} \\ && \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} b_{i1}\\ b_{i2}\\ b_{i3} \end{array} \right) &=&A^\mathrm{T}\left( \begin{array}{c} b_{i1}\\ b_{i2}\\ b_{i3} \end{array} \right) \end{eqnarray}}$

よって

$\displaystyle{\begin{eqnarray} \frac{dA^\mathrm{T}}{dt}&=&\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{ccc} && \\ \boldsymbol{e_1'}&\boldsymbol{e_2'}&\boldsymbol{e_3'} \\ && \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc} && \\ \frac{d\boldsymbol{e_1'}}{dt}&\frac{d\boldsymbol{e_2'}}{dt}&\frac{d\boldsymbol{e_3'}}{dt} \\ && \end{array}\right)\\ &=&\left(\begin{array}{ccc} && \\ A^\mathrm{T}\left( \begin{array}{c} b_{11}\\ b_{12}\\ b_{12} \end{array} \right) &A^\mathrm{T}\left( \begin{array}{c} b_{21}\\ b_{22}\\ b_{23} \end{array} \right) &A^\mathrm{T}\left( \begin{array}{c} b_{31}\\ b_{32}\\ b_{33} \end{array} \right) \\ && \end{array}\right)\\ &=&A^\mathrm{T}\left(\begin{array}{ccc} b_{11}&b_{21}&b_{31} \\ b_{12}&b_{22}&b_{32} \\ b_{13}&b_{23}&b_{33} \end{array}\right)\\ \frac{dA^\mathrm{T}}{dt}&=&A^\mathrm{T}B^\mathrm{T}\tag{1} \end{eqnarray}}$

ここで $B=(b_{ij})$ とした。よって

$\displaystyle{\begin{eqnarray} \frac{dA}{dt}=BA \end{eqnarray}}$

$A$ は直交行列より $A^\mathrm{T}=A^{-1}$ 。よって

$\displaystyle{\begin{eqnarray} B=\frac{dA}{dt}A^\mathrm{T} \end{eqnarray}}$

$B$ が交代行列であること、すなわち $B+B^\mathrm{T}=O$ を示す。 $A$ は直交行列より

$\displaystyle{\begin{eqnarray} AA^\mathrm{T}&=&E\\ \frac{d}{dt}(AA^\mathrm{T})&=&O \end{eqnarray}}$

行列積の微分の性質より上の式は

$\displaystyle{\begin{eqnarray} \frac{dA}{dt}A^\mathrm{T}+A\frac{dA^\mathrm{T}}{dt}=O \end{eqnarray}}$

ここで $B^\mathrm{T}=A\frac{dA^\mathrm{T}}{dt}$ より

$\displaystyle{\begin{eqnarray} B+B^\mathrm{T}=\frac{dA}{dt}A^\mathrm{T}+A\frac{dA^\mathrm{T}}{dt}=O \end{eqnarray}}$

$B$ が交代行列であることが示せた。ゆえに $B$ の独立な成分は3つで、 $\omega_1',\omega_2',\omega_3'$ を

$\displaystyle{\begin{eqnarray} \omega_1'=b_{23}=-b_{32},\omega_2'=b_{31}=-b_{13},\omega_3'=b_{12}=-b_{21} \end{eqnarray}}$

とおくことにする。

点の静止座標系 $R$ 上で表現された位置ベクトル $\boldsymbol{r}$ は

$\displaystyle{\begin{eqnarray} \boldsymbol{r}=A^\mathrm{T}\boldsymbol{r'} \end{eqnarray}}$

点の速度は式（１）より

$\displaystyle{\begin{eqnarray} \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}&=&\frac{dA^\mathrm{T}}{dt}\boldsymbol{r'}\\ &=&A^\mathrm{T}B^\mathrm{T}\boldsymbol{r'}\\ &=&A^\mathrm{T}\left(\begin{array}{ccc} b_{11}&b_{21}&b_{31} \\ b_{12}&b_{22}&b_{32} \\ b_{13}&b_{23}&b_{33} \end{array}\right) \boldsymbol{r'}\\ &=&A^\mathrm{T}\left(\begin{array}{ccc} 0&-\omega_{3}'&\omega_{2}' \\ \omega_{3}'&0&-\omega_{1}' \\ -\omega_{2}'&\omega_{1}'&0 \end{array}\right) \boldsymbol{r'}\\ \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}&=&A^\mathrm{T}(\boldsymbol{\omega'}\times\boldsymbol{r'})\tag{2} \end{eqnarray}}$

ここで、 $\boldsymbol{\omega'}=(\omega_1',\omega_2',\omega_3')^\mathrm{T}$ とした。

回転行列と外積に関するある定理を紹介する。この定理は座標回転行列に関しても成り立つ。

定理
$X$ を回転行列、 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ を三次元ベクトルとすると以下の式が成り立つ。

$\displaystyle{\begin{eqnarray} X(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})=X\boldsymbol{a}\times X\boldsymbol{b} \end{eqnarray}}$

式（２）について $A$ が座標回転行列なら $A^\mathrm{T}$ も座標回転行列だから

$\displaystyle{\begin{eqnarray} \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}&=&A^\mathrm{T}\boldsymbol{\omega'}\times A^\mathrm{T}\boldsymbol{r'}\\ \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}&=&\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r} \end{eqnarray}}$